Toán học · Bảng tra
Bảng công thức đạo hàm
Đầy đủ công thức đạo hàm dùng trong chương trình phổ thông và năm nhất đại học. Bảng hàm hợp nằm riêng ở cuối vì đây là chỗ sai nhiều nhất — quên nhân u' là lỗi phổ biến nhất khi tính đạo hàm.
Quy tắc tính đạo hàm
Áp dụng cho mọi hàm số, bất kể dạng cụ thể là gì.
| Quy tắc | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Tổng, hiệu | (u ± v)' = u' ± v' | — |
| Tích | (u · v)' = u'·v + u·v' | — |
| Thương | (u/v)' = (u'·v − u·v') / v² | v ≠ 0 |
| Hằng số nhân | (k · u)' = k · u' | k là hằng số |
| Hàm hợp | [f(u(x))]' = f'(u) · u'(x) | — |
| Hàm ngược | (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(x) | f'(x) ≠ 0 |
Đạo hàm hàm sơ cấp
| Hàm số | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| c (hằng số) | 0 | — |
| x | 1 | — |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | — |
| √x | 1 / (2√x) | x > 0 |
| 1/x | −1 / x² | x ≠ 0 |
| |x| | x / |x| | x ≠ 0 |
Công thức (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ đúng với mọi số thực n. Các dòng √x và 1/x chỉ là trường hợp riêng với n = 1/2 và n = −1.
Đạo hàm hàm mũ và logarit
| Hàm số | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | — |
| aˣ | aˣ · ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1 / x | x > 0 |
| log_a x | 1 / (x · ln a) | x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
Đạo hàm hàm lượng giác
| Hàm số | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| sin x | cos x | — |
| cos x | −sin x | — |
| tan x | 1 / cos²x = 1 + tan²x | cos x ≠ 0 |
| cot x | −1 / sin²x = −(1 + cot²x) | sin x ≠ 0 |
Mẹo nhớ dấu: đạo hàm của các hàm bắt đầu bằng 'co' (cos, cot) đều mang dấu trừ.
Đạo hàm hàm lượng giác ngược
Thường gặp ở bậc đại học và khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
| Hàm số | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| arcsin x | 1 / √(1 − x²) | −1 < x < 1 |
| arccos x | −1 / √(1 − x²) | −1 < x < 1 |
| arctan x | 1 / (1 + x²) | — |
| arccot x | −1 / (1 + x²) | — |
Đạo hàm hàm hợp
Khi biểu thức bên trong là u(x) chứ không phải x, luôn phải nhân thêm u'.
| Hàm số | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| uⁿ | n · uⁿ⁻¹ · u' | — |
| √u | u' / (2√u) | u > 0 |
| eᵘ | eᵘ · u' | — |
| aᵘ | aᵘ · ln a · u' | — |
| ln u | u' / u | u > 0 |
| sin u | cos u · u' | — |
| cos u | −sin u · u' | — |
| tan u | u' / cos²u | cos u ≠ 0 |
Đây là bảng cần đọc kỹ nhất. Quên nhân u' là lỗi sai phổ biến nhất khi tính đạo hàm.
Ví dụ áp dụng
Các dạng hay gặp trong đề thi, xem cách nhân u' vào.
| Hàm số | Công thức |
|---|---|
| y = (2x + 1)⁵ | y' = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴ |
| y = sin(3x) | y' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x) |
| y = e^(x²) | y' = e^(x²) · 2x = 2x·e^(x²) |
| y = ln(x² + 1) | y' = 2x / (x² + 1) |
| y = x · sin x | y' = sin x + x·cos x |
Câu hỏi thường gặp
- Đạo hàm hàm hợp là gì và vì sao hay sai?
- Khi hàm bên trong không phải là x đơn thuần mà là một biểu thức u(x), bạn phải nhân thêm đạo hàm của u. Ví dụ (sin 3x)' không phải cos 3x mà là 3cos 3x. Lỗi phổ biến nhất là quên nhân u' — đây là nguyên nhân sai nhiều nhất trong các bài đạo hàm.
- Khi nào dùng quy tắc tích, khi nào dùng quy tắc thương?
- Dùng quy tắc tích khi hàm là hai biểu thức nhân nhau, ví dụ x·sin x. Dùng quy tắc thương khi có phân số mà cả tử và mẫu đều chứa x. Nếu mẫu là hằng số thì không cần quy tắc thương — chỉ việc đưa hằng số ra ngoài cho nhanh.
- Đạo hàm của xⁿ áp dụng cho n âm và n phân số không?
- Có, công thức (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ đúng với mọi số thực n, miễn hàm xác định. Ví dụ với n = 1/2 ta được (√x)' = ½·x^(−1/2) = 1/(2√x); với n = −1 ta được (1/x)' = −x⁻² = −1/x². Hai công thức riêng trong bảng chỉ là trường hợp đặc biệt của công thức tổng quát.
- Vì sao đạo hàm của eˣ vẫn là eˣ?
- Vì e là cơ số duy nhất mà hàm mũ có tốc độ biến thiên đúng bằng chính giá trị của nó. Với cơ số khác, công thức (aˣ)' = aˣ·ln a xuất hiện thêm hệ số ln a; khi a = e thì ln e = 1 nên hệ số biến mất.
- Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì?
- Đạo hàm tại điểm x₀ chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó. Nhờ vậy phương trình tiếp tuyến viết được ngay: y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Đạo hàm dương thì hàm đồng biến, âm thì nghịch biến.
Trong bảng, u và v là các hàm số theo x; c, k, a, n là hằng số. Công thức hàm hợp áp dụng khi biểu thức bên trong không phải là x đơn thuần. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.