Toán học · Bảng tra
Cấp số cộng và cấp số nhân
Công thức đầy đủ của hai loại cấp số, kèm bảng so sánh trực tiếp để không nhầm lẫn. Điểm cần nhớ nhất: cấp số cộng thì cộng thêm d, cấp số nhân thì nhân với q.
Cấp số cộng
Mỗi số hạng bằng số hạng trước cộng thêm một hằng số d.
| Nội dung | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Định nghĩa | uₙ₊₁ = uₙ + d | d là công sai |
| Số hạng tổng quát | uₙ = u₁ + (n − 1)·d | — |
| Công sai | d = uₙ₊₁ − uₙ | — |
| Tính chất ba số liên tiếp | uₖ = (uₖ₋₁ + uₖ₊₁) / 2 | k ≥ 2 |
| Tổng n số hạng đầu | Sₙ = n·(u₁ + uₙ) / 2 | — |
| Tổng (dạng theo d) | Sₙ = n·[2u₁ + (n − 1)d] / 2 | — |
Cấp số nhân
Mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với một hằng số q.
| Nội dung | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Định nghĩa | uₙ₊₁ = uₙ · q | q là công bội, q ≠ 0 |
| Số hạng tổng quát | uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹ | — |
| Công bội | q = uₙ₊₁ / uₙ | uₙ ≠ 0 |
| Tính chất ba số liên tiếp | uₖ² = uₖ₋₁ · uₖ₊₁ | k ≥ 2 |
| Tổng n số hạng đầu | Sₙ = u₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q) | q ≠ 1 |
| Tổng khi q = 1 | Sₙ = n · u₁ | — |
| Tổng lùi vô hạn | S = u₁ / (1 − q) | |q| < 1 |
Công thức tổng Sₙ có mẫu (1 − q) nên không dùng được khi q = 1 — trường hợp đó dãy là hằng số, tổng bằng n·u₁.
So sánh hai loại cấp số
| Tiêu chí | Công thức |
|---|---|
| Cách sinh số hạng | Cấp số cộng: CỘNG thêm d | Cấp số nhân: NHÂN với q |
| Số hạng tổng quát | CSC: u₁ + (n−1)d | CSN: u₁ · qⁿ⁻¹ |
| Trung bình ba số | CSC: trung bình cộng | CSN: trung bình nhân (bình phương) |
| Kiểu tăng trưởng | CSC: tuyến tính (đường thẳng) | CSN: hàm mũ (cong) |
| Tổng vô hạn | CSC: không hội tụ | CSN: hội tụ khi |q| < 1 |
Ví dụ áp dụng
| Dãy số | Công thức |
|---|---|
| Dãy 3, 7, 11, 15… | CSC với u₁ = 3, d = 4. u₁₀ = 3 + 9·4 = 39. S₁₀ = 10·(3+39)/2 = 210 |
| Dãy 2, 6, 18, 54… | CSN với u₁ = 2, q = 3. u₅ = 2·3⁴ = 162. S₅ = 2·(1−3⁵)/(1−3) = 242 |
| Dãy 1, 1/2, 1/4, 1/8… | CSN với q = 1/2. Tổng vô hạn S = 1/(1 − 1/2) = 2 |
| Tổng 1 + 2 + … + 100 | CSC với u₁=1, u₁₀₀=100. S = 100·(1+100)/2 = 5050 |
Câu hỏi thường gặp
- Làm sao phân biệt nhanh cấp số cộng và cấp số nhân?
- Lấy hiệu hai số hạng liên tiếp: nếu hiệu không đổi thì là cấp số cộng. Lấy thương hai số hạng liên tiếp: nếu thương không đổi thì là cấp số nhân. Chỉ cần thử với hai ba cặp đầu là nhận ra ngay.
- Vì sao tổng cấp số nhân lùi vô hạn chỉ tồn tại khi |q| < 1?
- Vì khi |q| < 1, các số hạng nhỏ dần về 0 nên tổng hội tụ về một giá trị hữu hạn. Nếu |q| ≥ 1 thì số hạng không nhỏ đi (thậm chí lớn dần), tổng tăng vô hạn nên không có giá trị xác định.
- Công bội q có thể âm không?
- Có. Khi q âm, dãy đan dấu — ví dụ 2, −6, 18, −54 có q = −3. Mọi công thức vẫn áp dụng bình thường. Riêng tổng lùi vô hạn cần |q| < 1, nên q = −0,5 vẫn hội tụ còn q = −3 thì không.
- Công thức tổng cấp số cộng nhớ thế nào cho dễ?
- Hiểu bản chất: ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp chót — mỗi cặp có tổng bằng nhau và bằng u₁ + uₙ. Có n/2 cặp như vậy, nên tổng bằng n·(u₁ + uₙ)/2. Đây chính là cách Gauss tính tổng 1 đến 100 khi còn nhỏ.
- Cấp số nhân dùng trong thực tế ở đâu?
- Lãi kép trong tài chính là ví dụ điển hình: số tiền sau mỗi kỳ nhân với (1 + lãi suất), tạo thành cấp số nhân. Ngoài ra còn dùng để mô tả tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ và khấu hao tài sản.
Ký hiệu: u₁ là số hạng đầu, uₙ là số hạng thứ n, d là công sai, q là công bội, Sₙ là tổng n số hạng đầu. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.