Toán học · Bảng tra
Công thức logarit đầy đủ
Toàn bộ tính chất logarit, công thức đổi cơ số và cách giải phương trình, bất phương trình logarit. Lưu ý phần bất phương trình: chiều bất đẳng thức đổi khi cơ số nhỏ hơn 1.
Định nghĩa và giá trị đặc biệt
| Nội dung | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Định nghĩa | log_a b = c ⟺ aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Logarit thập phân | log b = log₁₀ b | — |
| Logarit tự nhiên | ln b = log_e b | e ≈ 2,71828 |
| Giá trị đặc biệt | log_a 1 = 0 ; log_a a = 1 | — |
| Logarit của lũy thừa cơ số | log_a aⁿ = n | — |
| Lũy thừa của logarit | a^(log_a b) = b | b > 0 |
Tính chất của logarit
| Tính chất | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Logarit của tích | log_a (b·c) = log_a b + log_a c | b, c > 0 |
| Logarit của thương | log_a (b/c) = log_a b − log_a c | b, c > 0 |
| Logarit của lũy thừa | log_a bⁿ = n · log_a b | b > 0 |
| Logarit của căn | log_a ⁿ√b = (1/n) · log_a b | b > 0, n ≥ 2 |
| Nghịch đảo cơ số | log_(1/a) b = −log_a b | — |
| Lũy thừa ở cơ số | log_(aⁿ) b = (1/n) · log_a b | n ≠ 0 |
Nhớ kỹ: log biến TÍCH thành TỔNG, không phải tổng thành tổng. log(a + b) không khai triển được.
Công thức đổi cơ số
Cần khi tính bằng máy tính — máy chỉ có sẵn log cơ số 10 và ln.
| Công thức | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Công thức tổng quát | log_a b = log_c b / log_c a | c > 0, c ≠ 1 |
| Đổi sang ln | log_a b = ln b / ln a | — |
| Đổi sang log thập phân | log_a b = log b / log a | — |
| Hoán vị cơ số | log_a b = 1 / log_b a | b ≠ 1 |
| Dây chuyền | log_a b · log_b c = log_a c | b ≠ 1 |
Giải phương trình và bất phương trình
| Dạng | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| log_a f(x) = b | f(x) = aᵇ | kèm điều kiện f(x) > 0 |
| log_a f(x) = log_a g(x) | f(x) = g(x) | kèm f(x) > 0 hoặc g(x) > 0 |
| aˣ = b | x = log_a b | b > 0 |
| Bất phương trình (a > 1) | log_a f(x) > log_a g(x) ⟺ f(x) > g(x) > 0 | — |
| Bất phương trình (0 < a < 1) | log_a f(x) > log_a g(x) ⟺ 0 < f(x) < g(x) | — |
Chiều bất phương trình ĐỔI khi cơ số 0 < a < 1, vì hàm logarit khi đó nghịch biến. Luôn đặt điều kiện xác định trước khi giải.
Ví dụ tính toán
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| log₂ 8 | = log₂ 2³ = 3 |
| log₃ 9 + log₃ 27 | = 2 + 3 = 5 (hoặc log₃(9·27) = log₃ 243 = 5) |
| log₂ 5 · log₅ 8 | = log₂ 8 = 3 (quy tắc dây chuyền) |
| log₅ 100 (bằng máy tính) | = ln 100 / ln 5 ≈ 4,6052 / 1,6094 ≈ 2,861 |
| Giải 2ˣ = 10 | x = log₂ 10 = ln 10 / ln 2 ≈ 3,322 |
Câu hỏi thường gặp
- Vì sao cơ số logarit phải khác 1 và lớn hơn 0?
- Nếu cơ số bằng 1 thì 1 mũ bất kỳ đều bằng 1, nên phương trình 1ᶜ = b vô nghiệm với mọi b ≠ 1 và vô số nghiệm khi b = 1 — không xác định được giá trị logarit. Nếu cơ số âm thì lũy thừa với số mũ thực không xác định trên tập số thực.
- log(a + b) có bằng log a + log b không?
- Không. Đây là lỗi sai phổ biến nhất về logarit. Công thức đúng là log(a·b) = log a + log b — tích chứ không phải tổng. Logarit của một tổng không có công thức khai triển đơn giản.
- Khi nào phải đổi chiều bất phương trình logarit?
- Khi cơ số nằm trong khoảng 0 < a < 1, vì lúc đó hàm logarit nghịch biến. Ví dụ log₀,₅ x > log₀,₅ 3 tương đương 0 < x < 3, chứ không phải x > 3. Nếu cơ số lớn hơn 1 thì giữ nguyên chiều.
- Vì sao phải đặt điều kiện trước khi giải phương trình logarit?
- Vì logarit chỉ xác định khi biểu thức bên trong dương. Nếu bỏ qua bước này, bạn có thể nhận nghiệm ngoại lai — nghiệm thỏa mãn phương trình sau khi biến đổi nhưng làm cho logarit ban đầu vô nghĩa. Luôn thử lại nghiệm vào điều kiện.
- ln và log khác nhau thế nào?
- ln là logarit cơ số e (≈ 2,718), còn log không ghi cơ số thường hiểu là cơ số 10 trong toán phổ thông. Riêng trong tin học và một số tài liệu kỹ thuật, log đôi khi mặc định cơ số 2 — nên khi đọc tài liệu cần xác định rõ quy ước.
Mọi công thức áp dụng với điều kiện cơ số a > 0, a ≠ 1 và biểu thức lấy logarit phải dương. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.