Toán học · Bảng tra
Công thức lượng giác đầy đủ
Toàn bộ công thức lượng giác dùng trong chương trình phổ thông, xếp theo thứ tự bạn thường cần khi làm bài: hệ thức cơ bản trước, rồi cung liên kết, công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc và cuối cùng là các dạng biến đổi tổng ↔ tích.
Hệ thức lượng giác cơ bản
Sáu hệ thức nền tảng — mọi biến đổi phức tạp hơn đều quy về đây.
| Hệ thức | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Hệ thức Pythagore | sin²x + cos²x = 1 | — |
| tan theo sin, cos | tan x = sin x / cos x | cos x ≠ 0 |
| cot theo sin, cos | cot x = cos x / sin x | sin x ≠ 0 |
| tan · cot | tan x · cot x = 1 | sin x · cos x ≠ 0 |
| 1 + tan² | 1 + tan²x = 1 / cos²x | cos x ≠ 0 |
| 1 + cot² | 1 + cot²x = 1 / sin²x | sin x ≠ 0 |
Giá trị lượng giác của cung đặc biệt
Bảng cần thuộc lòng — xuất hiện trong hầu hết bài toán lượng giác.
| Cung | Công thức |
|---|---|
| 0 (0°) | sin = 0 ; cos = 1 ; tan = 0 ; cot không xác định |
| π/6 (30°) | sin = 1/2 ; cos = √3/2 ; tan = 1/√3 ; cot = √3 |
| π/4 (45°) | sin = √2/2 ; cos = √2/2 ; tan = 1 ; cot = 1 |
| π/3 (60°) | sin = √3/2 ; cos = 1/2 ; tan = √3 ; cot = 1/√3 |
| π/2 (90°) | sin = 1 ; cos = 0 ; tan không xác định ; cot = 0 |
Công thức cung liên kết
Quy đổi cung bất kỳ về cung trong khoảng quen thuộc.
| Quan hệ | Công thức |
|---|---|
| Đối nhau (−x) | cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x ; tan(−x) = −tan x |
| Bù nhau (π − x) | sin(π − x) = sin x ; cos(π − x) = −cos x ; tan(π − x) = −tan x |
| Phụ nhau (π/2 − x) | sin(π/2 − x) = cos x ; cos(π/2 − x) = sin x ; tan(π/2 − x) = cot x |
| Hơn kém π | sin(π + x) = −sin x ; cos(π + x) = −cos x ; tan(π + x) = tan x |
| Hơn kém π/2 | sin(π/2 + x) = cos x ; cos(π/2 + x) = −sin x |
Mẹo nhớ: 'cos đối, sin bù, phụ chéo, khác π tan'. Cung đối giữ nguyên cos, cung bù giữ nguyên sin, cung phụ đổi chéo sin ↔ cos, hơn kém π thì tan giữ nguyên.
Công thức cộng
Khai triển hàm lượng giác của tổng hoặc hiệu hai cung.
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| sin(a ± b) | sin a · cos b ± cos a · sin b |
| cos(a + b) | cos a · cos b − sin a · sin b |
| cos(a − b) | cos a · cos b + sin a · sin b |
| tan(a + b) | (tan a + tan b) / (1 − tan a · tan b) |
| tan(a − b) | (tan a − tan b) / (1 + tan a · tan b) |
Chú ý dấu của cos: cos(a + b) cho công thức có dấu TRỪ, cos(a − b) cho công thức có dấu CỘNG. Đây là lỗi sai phổ biến nhất khi làm bài.
Công thức nhân đôi, nhân ba
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| sin 2a | 2 · sin a · cos a |
| cos 2a | cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a |
| tan 2a | 2 tan a / (1 − tan²a) |
| sin 3a | 3 sin a − 4 sin³a |
| cos 3a | 4 cos³a − 3 cos a |
cos 2a có ba dạng tương đương. Chọn dạng nào tùy bài: đề cho sin thì dùng 1 − 2sin²a, đề cho cos thì dùng 2cos²a − 1.
Công thức hạ bậc
Đưa lũy thừa về bậc nhất của cung gấp đôi — bước bắt buộc khi tính tích phân sin², cos².
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| sin²a | (1 − cos 2a) / 2 |
| cos²a | (1 + cos 2a) / 2 |
| tan²a | (1 − cos 2a) / (1 + cos 2a) |
| sin³a | (3 sin a − sin 3a) / 4 |
| cos³a | (3 cos a + cos 3a) / 4 |
Biến đổi tổng thành tích
Dùng khi giải phương trình: đưa về dạng tích để cho ngay các nghiệm.
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| cos a + cos b | 2 · cos((a+b)/2) · cos((a−b)/2) |
| cos a − cos b | −2 · sin((a+b)/2) · sin((a−b)/2) |
| sin a + sin b | 2 · sin((a+b)/2) · cos((a−b)/2) |
| sin a − sin b | 2 · cos((a+b)/2) · sin((a−b)/2) |
Biến đổi tích thành tổng
Dùng khi tính tích phân: tổng dễ lấy nguyên hàm hơn tích.
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| cos a · cos b | ½ · [cos(a−b) + cos(a+b)] |
| sin a · sin b | ½ · [cos(a−b) − cos(a+b)] |
| sin a · cos b | ½ · [sin(a−b) + sin(a+b)] |
Nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
| Phương trình | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| sin x = sin α | x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π | k ∈ ℤ |
| cos x = cos α | x = ±α + k2π | k ∈ ℤ |
| tan x = tan α | x = α + kπ | k ∈ ℤ |
| cot x = cot α | x = α + kπ | k ∈ ℤ |
| a·sin x + b·cos x | √(a²+b²) · sin(x + φ), với tan φ = b/a | a ≠ 0 |
Phương trình a·sin x + b·cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi |c| ≤ √(a² + b²).
Câu hỏi thường gặp
- Cách nhớ công thức cộng lượng giác nhanh nhất?
- Dùng câu vè quen thuộc: 'sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ'. Nghĩa là sin(a±b) giữ nguyên thứ tự dấu, còn cos(a+b) thì đổi dấu thành trừ. Riêng dấu của cos là chỗ sai nhiều nhất — cos cộng thì công thức trừ, cos trừ thì công thức cộng.
- Công thức hạ bậc dùng khi nào?
- Dùng khi cần tính tích phân của sin²x hoặc cos²x, hoặc khi giải phương trình lượng giác có bậc cao. Hạ bậc đưa lũy thừa về bậc nhất của cung gấp đôi, nhờ đó tích phân được ngay. Đây là bước gần như bắt buộc khi gặp ∫sin²x dx.
- Khi nào biến đổi tổng thành tích, khi nào tích thành tổng?
- Biến đổi tổng thành tích khi cần giải phương trình — vì tích bằng 0 thì cho ngay các nghiệm. Ngược lại, biến tích thành tổng khi cần tính tích phân, vì tổng dễ lấy nguyên hàm hơn tích.
- Vì sao phương trình cos x = cos α chỉ có một họ nghiệm mà sin x = sin α có hai?
- Vì cos là hàm chẵn: cos(−α) = cos α, nên hai nghiệm ±α gộp được thành một họ x = ±α + k2π. Còn sin là hàm lẻ, nghiệm thứ hai nằm ở π − α chứ không phải −α, nên phải viết thành hai họ riêng.
- Công thức a·sin x + b·cos x dùng để làm gì?
- Dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và để giải phương trình dạng a·sin x + b·cos x = c. Sau khi đưa về dạng √(a²+b²)·sin(x + φ), biên độ √(a²+b²) chính là giá trị lớn nhất, và phương trình có nghiệm khi |c| ≤ √(a²+b²).
Các công thức trên áp dụng cho chương trình Toán phổ thông hiện hành. Trong đó k ∈ ℤ ký hiệu k là số nguyên bất kỳ. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.