Toán học · Bảng tra
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Bảy hằng đẳng thức cơ bản cùng các dạng mở rộng thường gặp. Phần ví dụ ở cuối cho thấy cách nhận dạng nhanh nên dùng hằng đẳng thức nào khi phân tích đa thức thành nhân tử.
Bảy hằng đẳng thức cơ bản
| Tên gọi | Công thức |
|---|---|
| 1. Bình phương của tổng | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| 2. Bình phương của hiệu | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| 3. Hiệu hai bình phương | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| 4. Lập phương của tổng | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| 5. Lập phương của hiệu | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| 6. Tổng hai lập phương | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| 7. Hiệu hai lập phương | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
Chú ý hằng đẳng thức 6 và 7: hệ số của ab là 1 (không phải 2), và dấu giữa ngoặc thứ hai ngược với dấu ở vế trái.
Hằng đẳng thức mở rộng
Các dạng hay dùng khi giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức.
| Dạng | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Bình phương ba số | (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca | — |
| Lập phương tổng (dạng 2) | (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) | — |
| Lập phương hiệu (dạng 2) | (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) | — |
| Tổng ba lập phương | a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) | — |
| Hiệu lũy thừa n | aⁿ − bⁿ = (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹) | — |
| Tổng lũy thừa lẻ | aⁿ + bⁿ = (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹) | n lẻ |
Nhị thức Newton
Khai triển lũy thừa bậc cao — bốn hằng đẳng thức đầu chỉ là trường hợp riêng n = 2 và n = 3.
| Biểu thức | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| (a + b)⁴ | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ | — |
| (a + b)⁵ | a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ | — |
| Tổng quát | (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ | k chạy từ 0 đến n |
| Hệ số tổ hợp | C(n,k) = n! / [k! · (n−k)!] | — |
Hệ số khai triển tra nhanh bằng tam giác Pascal: mỗi số bằng tổng hai số phía trên nó.
Ví dụ phân tích thành nhân tử
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| x² − 9 | = x² − 3² = (x − 3)(x + 3) |
| x² + 6x + 9 | = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)² |
| 8x³ + 27 | = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9) |
| x³ − 1 | = (x − 1)(x² + x + 1) |
| x⁴ − 16 | = (x² − 4)(x² + 4) = (x−2)(x+2)(x² + 4) |
Câu hỏi thường gặp
- Vì sao a² + b² không phân tích được thành nhân tử?
- Trên tập số thực, tổng hai bình phương không phân tích được vì nó luôn dương (trừ khi cả hai bằng 0), không có nghiệm thực để tách thành tích. Chỉ có HIỆU hai bình phương mới phân tích được. Nhầm hai trường hợp này là lỗi rất phổ biến.
- Dấu trong hằng đẳng thức số 6 và 7 dễ nhầm chỗ nào?
- Nhớ quy tắc: dấu ở nhân tử đầu giống dấu ở vế trái, còn dấu ở giữa của nhân tử thứ hai thì NGƯỢC lại. Với a³ + b³ ta được (a + b)(a² − ab + b²): ngoặc đầu dấu cộng, giữa ngoặc sau dấu trừ. Và hệ số của ab luôn là 1, không phải 2 như trong bình phương.
- Làm sao nhận ra nên dùng hằng đẳng thức nào?
- Nhìn số hạng: nếu có hai số hạng và cùng là bình phương thì nghĩ tới hiệu hai bình phương; nếu là lập phương thì dùng số 6 hoặc 7. Nếu có ba số hạng mà số hạng giữa bằng hai lần tích căn của hai số hạng đầu cuối thì đó là bình phương của tổng hoặc hiệu.
- Nhị thức Newton liên quan gì tới hằng đẳng thức?
- Bốn hằng đẳng thức về bình phương và lập phương của tổng chính là trường hợp riêng của nhị thức Newton với n = 2 và n = 3. Khi cần khai triển lũy thừa bậc cao hơn, dùng công thức tổng quát với hệ số tổ hợp thay vì học thuộc từng trường hợp.
- Tam giác Pascal dùng thế nào để tìm hệ số?
- Mỗi hàng của tam giác Pascal cho hệ số khai triển của một bậc: hàng 1-2-1 ứng với bình phương, 1-3-3-1 ứng với lập phương, 1-4-6-4-1 ứng với bậc bốn. Mỗi số bằng tổng hai số phía trên nó, nên bạn dựng lại được nhanh mà không cần tính giai thừa.
Các hằng đẳng thức đúng với mọi số thực a, b (và c). Dạng mở rộng aⁿ ± bⁿ áp dụng với n nguyên dương. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.