Toán học · Bảng tra
Bảng công thức nguyên hàm
Đầy đủ công thức nguyên hàm cùng ba phương pháp tính hay dùng nhất. Bảng nguyên hàm hàm hợp dạng (ax+b) nằm riêng vì đây là dạng chiếm phần lớn bài tập — nhớ nhân thêm 1/a.
Nguyên hàm cơ bản
| Nguyên hàm | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| ∫ k dx | kx + C | k là hằng số |
| ∫ xⁿ dx | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C | n ≠ −1 |
| ∫ (1/x) dx | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| ∫ √x dx | (2/3) · x√x + C | x ≥ 0 |
| ∫ (1/x²) dx | −1/x + C | x ≠ 0 |
Điều kiện n ≠ −1 rất quan trọng: khi n = −1 thì mẫu n+1 bằng 0, phải dùng công thức ln|x| riêng.
Nguyên hàm hàm mũ và logarit
| Nguyên hàm | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| ∫ eˣ dx | eˣ + C | — |
| ∫ aˣ dx | aˣ / ln a + C | a > 0, a ≠ 1 |
| ∫ ln x dx | x·ln x − x + C | x > 0 |
Nguyên hàm hàm lượng giác
| Nguyên hàm | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| ∫ sin x dx | −cos x + C | — |
| ∫ cos x dx | sin x + C | — |
| ∫ (1/cos²x) dx | tan x + C | cos x ≠ 0 |
| ∫ (1/sin²x) dx | −cot x + C | sin x ≠ 0 |
| ∫ tan x dx | −ln|cos x| + C | cos x ≠ 0 |
| ∫ cot x dx | ln|sin x| + C | sin x ≠ 0 |
Chú ý dấu: ∫sin x dx mang dấu trừ (−cos x), còn ∫cos x dx thì không. Đây là chỗ nhầm dấu phổ biến.
Nguyên hàm dạng đặc biệt
Các dạng cho ra hàm lượng giác ngược hoặc logarit — thường gặp ở bậc đại học.
| Nguyên hàm | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| ∫ 1/√(1−x²) dx | arcsin x + C | −1 < x < 1 |
| ∫ 1/(1+x²) dx | arctan x + C | — |
| ∫ 1/(x²−a²) dx | (1/2a) · ln|(x−a)/(x+a)| + C | a ≠ 0, x ≠ ±a |
| ∫ 1/√(x²+a) dx | ln|x + √(x²+a)| + C | — |
Nguyên hàm hàm hợp dạng (ax + b)
Dạng chiếm phần lớn bài tập. Quy tắc chung: lấy nguyên hàm như bình thường rồi nhân thêm 1/a.
| Nguyên hàm | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| ∫ (ax+b)ⁿ dx | (ax+b)ⁿ⁺¹ / [a(n+1)] + C | a ≠ 0, n ≠ −1 |
| ∫ 1/(ax+b) dx | (1/a) · ln|ax+b| + C | a ≠ 0 |
| ∫ e^(ax+b) dx | (1/a) · e^(ax+b) + C | a ≠ 0 |
| ∫ sin(ax+b) dx | −(1/a) · cos(ax+b) + C | a ≠ 0 |
| ∫ cos(ax+b) dx | (1/a) · sin(ax+b) + C | a ≠ 0 |
| ∫ u'·f(u) dx | F(u) + C | F là nguyên hàm của f |
Hệ số 1/a xuất hiện vì đạo hàm của (ax+b) bằng a — đây là bước ngược lại của quy tắc hàm hợp khi tính đạo hàm.
Ba phương pháp tính nguyên hàm
| Phương pháp | Công thức | Điều kiện |
|---|---|---|
| Đổi biến | ∫ f(u(x))·u'(x) dx = ∫ f(u) du | Dùng khi thấy u' xuất hiện sẵn trong biểu thức |
| Từng phần | ∫ u dv = u·v − ∫ v du | Dùng khi tích của hai loại hàm khác nhau |
| Hạ bậc lượng giác | ∫ sin²x dx = ∫ (1 − cos2x)/2 dx | Dùng cho sin², cos² và các lũy thừa chẵn |
Ví dụ áp dụng
| Bài toán | Công thức |
|---|---|
| ∫ (3x+2)⁴ dx | (3x+2)⁵ / 15 + C |
| ∫ x·eˣ dx | x·eˣ − eˣ + C (từng phần: u = x, dv = eˣdx) |
| ∫ 2x·e^(x²) dx | e^(x²) + C (đổi biến: u = x²) |
| ∫ sin²x dx | x/2 − sin2x/4 + C (hạ bậc) |
| ∫ x·ln x dx | (x²/2)·ln x − x²/4 + C (từng phần) |
Câu hỏi thường gặp
- Vì sao nguyên hàm luôn có + C?
- Vì đạo hàm của hằng số bằng 0, nên mọi hàm sai khác nhau một hằng số đều có cùng đạo hàm. Nguyên hàm vì thế không phải một hàm duy nhất mà là cả một họ hàm. Quên viết + C là lỗi bị trừ điểm thường xuyên nhất trong bài nguyên hàm.
- Khi nào dùng đổi biến, khi nào dùng từng phần?
- Dùng đổi biến khi bạn thấy trong biểu thức có sẵn đạo hàm của một phần khác — ví dụ ∫2x·e^(x²)dx có sẵn 2x là đạo hàm của x². Dùng từng phần khi tích của hai loại hàm khác nhau mà không rút gọn được, ví dụ x·eˣ hoặc x·ln x.
- Chọn u và dv thế nào trong nguyên hàm từng phần?
- Theo thứ tự ưu tiên chọn u: logarit, hàm ngược, đa thức, lượng giác, hàm mũ. Nguyên tắc là chọn u sao cho u' đơn giản hơn u, và dv sao cho tích phân được. Với ∫x·ln x dx thì chọn u = ln x (vì đạo hàm ra 1/x đơn giản hơn), dv = x dx.
- Vì sao ∫(1/x)dx là ln|x| chứ không phải ln x?
- Vì hàm 1/x xác định cả với x âm, trong khi ln x chỉ xác định khi x dương. Dấu giá trị tuyệt đối mở rộng công thức cho cả hai phía. Bỏ dấu trị tuyệt đối là sai khi bài toán xét khoảng âm.
- Công thức ∫xⁿdx vì sao loại trừ n = −1?
- Vì khi n = −1, mẫu số n+1 bằng 0 nên công thức vô nghĩa. Đó chính là lý do trường hợp ∫(1/x)dx phải có công thức riêng là ln|x| + C.
C là hằng số tích phân, luôn phải viết trong kết quả. Các công thức áp dụng trên khoảng mà hàm số xác định và liên tục. Nội dung rà soát ngày 19/07/2026.